$\overrightarrow{P}=a\hat{I}-2\hat{J}+\hat{k}$ এবং $\overrightarrow{Q}=2a\hat{I}-a\hat{J}-4\hat{k}$ পরস্পর লম্ব হলে, a-এর মান কত? (If $\overrightarrow{P}=a\hat{I}-2\hat{J}+\hat{k}$ and $\overrightarrow{Q}=2a\hat{I}-a\hat{J}-4\hat{k}$ are perpendicular, then what is the value of a?)

ডট প্রোডাক্ট (Dot Product)

ডট প্রোডাক্ট হল দুটি ভেক্টরের মধ্যে স্কেলার গুণন। এটি দুটি ভেক্টরের মান এবং তাদের মধ্যবর্তী কোণের উপর ভিত্তি করে একটি স্কেলার মান দেয়।

সূত্র:

যদি দুটি ভেক্টর $\vec{A} = A_x i + A_y j + A_z k$ এবং $\vec{B} = B_x i + B_y j + B_z k$ হয়, তাহলে তাদের ডট প্রোডাক্ট হয়:

A⋅B=Ax​Bx​+Ay​By​+Az​Bz​

অথবা, ডট প্রোডাক্টকে কোণের মাধ্যমে প্রকাশ করা যায়:

A⋅B=∣A∣∣B∣cosθ

এখানে,

• $|\vec{A}|$ এবং $|\vec{B}|$ হল ভেক্টর $\vec{A}$ এবং $\vec{B}$-এর মান।
• $\theta$ হল $\vec{A}$ এবং $\vec{B}$ এর মধ্যবর্তী কোণ।

উদাহরণ:

ধরা যাক, $\vec{A} = 2i + 3j + 4k$ এবং $\vec{B} = i + 2j + 3k$। তাহলে তাদের ডট প্রোডাক্ট হবে:

A⋅B=(2×1)+(3×2)+(4×3)=2+6+12=20

বৈশিষ্ট্য:

• ডট প্রোডাক্ট দুটি ভেক্টরের মধ্যে কোণ নির্ণয়ে সহায়ক।
• যদি $\vec{A} \cdot \vec{B} = 0$ হয়, তাহলে ভেক্টর দুটি পরস্পর লম্ব।